Kelas 10 - BAB 5 Fungsi

1. Fungsi Linear (Fungsi Garis Lurus)

$\begin{array}{|c|c|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\begin{aligned}&\\ \textrm{Fungsi}&\: \textrm{Linear adalah}:\\ &\textrm{fungsi di aman fungsi yang hanya memiliki satu}\\ &\textrm{variabel dan berpangkat satu}.\\\\ \textrm{Misal},&\: \: f:x \mapsto ax+b\\ & \end{aligned}}\\\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Menentukan Persamaan Linear(Garis Lurus)}}\\\hline \textrm{Melalui titik}\: \: \left ( x_{1},y_{1} \right )&\textrm{Melalui titik}\: \: \left ( x_{1},y_{1} \right )\\ \textrm{dan bergradien}\: \: m&\textrm{dan}\: \: \left ( x_{2},y_{2} \right )\\\hline y=m\left ( x-x_{1} \right )+y_{1}&\displaystyle \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\displaystyle \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}\\ &\begin{aligned}\textrm{dengan}:&\\ m&=\displaystyle \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \end{aligned}\\\hline \textrm{Sejajar dengan} &\textrm{Tegak lurus dengan}\\ \textrm{garis bergradien}\: \: m_{1}&\textrm{garis bergradien}\: \: m_{1}\\\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Syarat dua garis}}\\\hline \textrm{Sejajar}\: \: m_{1}=m_{2}&\textrm{Tegak lurus}\: \: m_{1}\times m_{2}=-1\\\hline y=m_{2}\left ( x-x_{1} \right )+y_{1}&y=-\displaystyle \frac{1}{m_{2}}\left ( x-x_{1} \right )+y_{1}\\\hline \end{array}$ .

2. Fungsi Kuadrat

$\begin{array}{|l|p{3.5cm}|l|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\textbf{Fungsi Kuadrat}}\\\hline \textrm{Pengertian}&\textrm{Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat}&\textrm{Keterangan}\\\hline &\textrm{Titik potong sumbu x}&\textrm{Jika ada}\\\cline{3-3} \begin{aligned}&\textrm{Suatu fungsi yang berbentuk}\\ &f(x)=ax^{2}+bx+c\\ & a,\: b,\: c,\: \in \mathbb{R},\: a\neq 0 \end{aligned}&&\begin{aligned}&\textrm{untuk titik potong terhadap sumbu x }\\ &\textrm{Jika y = 0 maka }\: ax^{2}+bx+c=0\\ &\textrm{Selanjutnya tinggal menentukan nilai D}\\ &D=b^{2}-4ac\: \: \textrm{adalah}\\ &\: \: \: \: \: \: \: \: \: \textrm{nilai diskriminan}.\\ &\textrm{Jika} \: D>0\\ &\textrm{maka grafik memotong sumbu x}\\ &\textrm{di dua tempat berbeda}\\ &\textrm{yaitu di} \: (x_{1},0)\: \textrm{dan}\: (x_{2},0).\\ &\textrm{dan jika D = 0}\\ &\textrm{maka grafik hanya menyinggung}\\ &\textrm{sumbu x di satu titik}\\ &\textrm{yaitu di }\: (x_{1},0)\\ &\textrm{dan jika}\: D<0 \\ &\textrm{maka grafik tidak memotong}\\ &\textrm{sumbu x} \end{aligned}\\\cline{2-3} &\textrm{Titik potong sumbu y}&\begin{aligned}&\textrm{titik potong terhadap}\\ &\textrm{sumbu y, jika x = 0}\\ &y=f(x)=ax^{2}+bx+c\\ &y=f(0)=a(0)^{2}+b(0)+c\\ &y=c \end{aligned}\\\cline{2-3} &\textrm{Menentukan Sumbu Simetri (SS)}&x=\displaystyle \frac{-b}{2a}\\\cline{2-3} &\textrm{Menentukan Titik Puncak}&\left ( \displaystyle \frac{-b}{2a},\displaystyle \frac{D}{-4a} \right )\\\cline{2-3} &\textrm{Posisi grafik}&\textrm{Jika}\: a>0\: \textrm{maka grafik terbuka ke atas}\\\cline{3-3} &&\textrm{Jika}\: a<0\: \textrm{maka grafik terbuka ke bawah}\\\hline \end{array}.$ .

Untuk menyusun grafik fungsi kuadratnya adalah sebagai berikut:

$\begin{array}{|c|c|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Menyusun fungsi kuadrat}}\\\hline \textrm{Jika memotong sumbu}-\textrm{X}&\textrm{Jika menyinggung sumbu}-\textrm{X}\\ \textrm{di titik}\: \left ( x_{1},0 \right )\: \textrm{dan}\: \left ( x_{2},0 \right )&\textrm{di titik}\: \left ( x_{1},0 \right )\: \textrm{dan melalui}\\ \textrm{dan melalui sebuah titik lain}&\textrm{sebuah titik lain} \\\hline &\\ y=f(x)=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )&y=f(x)=a\left ( x-x_{1} \right )^{2}\\ &\\\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Jika grafik fungsi itu melalui}}\\\hline \textrm{Titik puncak}\: \: P\left ( x_{p},y_{p} \right )\: \textrm{dan}&\textrm{tiga buah titik yaitu}\: \left ( x_{1},y_{1} \right )\\ \textrm{sebuah titik lain}&\left ( x_{2},y_{2} \right )\: \: \textrm{dan}\: \: \left ( x_{3},y_{3} \right )\\\hline &\\ y=f(x)=a\left ( x-x_{p} \right )^{2}+y_{p}&y=f(x)=ax^{2}+bx+c\\ &\\\hline \end{array}$ .

3. Fungsi Rasional Pecahan

Fungsi rasional ada 2 macam yaitu, fungsi rasional bulat dan rasional pecahan. Selanjutnya fungsi rasional pecahan biasa disebut dengan fungsi pecahan saja.

Pada fungsi rasional biasanya akan didapatkan beberapa jenis asimtot garfik tetentu. Asimtot dari suatu grafik fungsi $y=f(x)$ adalah suatu garis lurus jenis tertentu yang tidak akan pernah dipotong oleh grafik fungsi itu sendiri, akan tetapi hanya didekati saja sampai tanpa batas.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}\hline &\multicolumn{2}{c|}{\textrm{Intersep}}&\multicolumn{3}{c|}{\textrm{Asimtot}}\\\cline{2-6} \raisebox{1.5ex}[0cm][0cm]{.\qquad\qquad \textrm{Bentuk}} &\textrm{Sumbu}-X&\textrm{Sumbu}-Y&\textrm{Tegak}&\textrm{Mendatar}&\textrm{Miring}\\\hline y=f(x)=\displaystyle \frac{ax+b}{px+q}&\left (-\displaystyle \frac{a}{b} ,0 \right )&\left ( 0,\displaystyle \frac{b}{q} \right )&x=-\displaystyle \frac{q}{p}&y=\displaystyle \frac{a}{p}&\textrm{tidak ada}\\\hline y=f(x)=\displaystyle \frac{ax+b}{px^{2}+qx+r}&\left (-\displaystyle \frac{a}{b} ,0 \right )&\left ( 0,\displaystyle \frac{b}{r} \right )&px^{2}+qx+r=0&y=0&\textrm{tidak ada}\\\hline y=f(x)=\displaystyle \frac{ax^{2}+bx+c}{px+q}&ax^{2}+bx+c=0&\left ( 0,\displaystyle \frac{c}{q} \right )&x=-\displaystyle \frac{q}{p}&ax^{2}+bx+c=0&y=\o (x)+\displaystyle \frac{m}{px+q}\\\cline{1-1}\cline{3-6} y=f(x)=\displaystyle \frac{ax^{2}+bx+c}{px^{2}+qx+r}&\textrm{lihat D}=b^{2}-4ac&\left ( 0,\displaystyle \frac{c}{r} \right )&px^{2}+qx+r=0&y=\displaystyle \frac{a}{p}&\textrm{tidak ada}\\\hline \end{array}$ .

Dan masih banyak fungsi-fungsi yang lain, di antaranya:

Fungsi Konstan, Fungsi Identitas, Fungsi Harga Mutlak, Fungsi Tangga, Fungsi genap ganjil, Fungsi Periodik, Fungsi Eksponen, serta Fungsi Logaritma.

$\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{CONTOH SOAL}}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Jika}\: \: f\: \: \textrm{adalah fungsi linear dengan}\: \: f(2)-f(-2)=8,\\ & \textrm{maka nilai dari}\: \: f(4)-f(-2)\: \: \textrm{adalah}\: ....\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Diketahui bahwa}:&\\ f(x)&=ax+b\\ f(2)-f(-2)&=\left (a(2)+b \right )-\left ( a(-2)+b \right )=8\\ 8&=2a+2a\\ 8&=4a\\ 2&=a\\ f(x)&=2x+b,\quad \textrm{dengan}\: \: b\: \: \textrm{konstan}\\ \textrm{Sehingga nilai}\quad&\\ f(4)-f(-2)&=\left (2(4)+b \right )-\left (2(-2)+b \right )\\ &=8+b+4-b\\ &=12 \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Ubahlah}\: \: 8-6x-x^{2}\: \: \textrm{ke dalam bentuk}\: \: a-(x+b)^{2},\: \textrm{selanjutnya}\\ & \textrm{tentukanlah daerah hasil dari}\: \: f(x)=8-6x-x^{2}\: \: \textrm{untuk}\: \: x\: \: \textrm{bilangan real}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(\textit{NTU Entrance Examination AO-level})\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline \textrm{Diketahui}&\textrm{Mencari koordinat}\: \: \left ( x_{SS},y_{SS} \right )&\textrm{Nilai fungsi}\\\hline \begin{aligned}\textrm{Misal}\quad\qquad&\\ 8-6x-x^{2}&=f(x)\\ f(x)&=-x^{2}-6x+8\\ &=-\left ( x^{2}+6x-8 \right )\\ &=-\left ( x^{2}+6x+9-17 \right )\\ &=-\left ( (x+3)^{2}-17 \right )\\ &=-(x+3)^{2}+17\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}f(x)&=-x^{2}-6x+8\left\{\begin{matrix} a=-1\\ b=-6\\ c=\: \: 8\: \: \end{matrix}\right.\\ \textrm{Maka}&\\ x_{SS}&=\frac{-b}{2a}=\displaystyle \frac{-(-6)}{2(-1)}\\ &=-3\\ y_{SS}&=f(-3)=-\left ( -3+3 \right )^{2}+17=17\\ \therefore &\left ( x_{SS},y_{SS} \right )=(-3,17) \end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{Karena}&\: \: a=-1<0\\ \textrm{maka f}&\textrm{ungsi menghadap}\\ \textbf{ke ba}&\textbf{wah},\: \: \textrm{sehingga}\\ \textrm{daerah}&\: \: \textrm{hasilnya}\: \: \left (R_{f} \right )\\ \textrm{adalah}&:\\ &\left \{ -\infty <y\leq 17 \right \}\\ &\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{array}$ .

Berikut ilustrasi gambarnya

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Jika}\: \: \alpha \: \: \textrm{dan}\: \: \beta \: \: \textrm{adalah akar-akar dari persamaan kuadrat}\: \: x^{2}+mx+m=0,\\ &\textrm{maka nilai}\: \: m\: \: \textrm{yang menyebabkan jumlah kuadrat akar-akar mencapai}\\ &\textrm{minimum adalah}\: ....\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\: \: \: (\textit{UM UNDIP 2014 Mat Das})\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{aligned}\textrm{Diketahui}\: \: x^{2}+mx+m&=0(\textbf{persamaan kuadrat}\: \textrm{dalam}\: \: x),\: \: \textrm{maka}\\ x^{2}+mx+m&=x-(\alpha +\beta )x+(\alpha \beta )=0\begin{cases} \alpha +\beta &=-m \\ & \\ \alpha \beta &=m \end{cases}\\ \textrm{Selanjutnya}\qquad\quad\: \qquad &\\ \alpha ^{2}+\beta ^{2}&=\left ( \alpha +\beta \right )^{2}-2\alpha \beta\\ &=(-m)^{2}-2m\: \: \textrm{dan dapat kita tuliskan sebagai}\\ f(m)&=m^{2}-2m\begin{cases} a &=1 \\ b &=-2 \\ c &=0 \end{cases} \quad ,\textrm{\textbf{fungsi kuadrat} dalam}\: \: m,\\ \textrm{sehingga kita perlu men}&\textrm{cari titik}\: \: \left ( m_{SS},f\left ( m_{SS} \right ) \right ),\: \: \textrm{tetapi yang kita perlukan}\\ \textrm{cuma}\: \: m-\textrm{nya saja, yai}\, &\textrm{tu}:\: \: m=m_{SS},\: \: \textrm{dengan}\\ m_{SS}&=\displaystyle \frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2.1}=1 \end{aligned} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukanlah asimtot mendatar, tegak, dan miring jika ada dari}\\ &\textrm{fungsi-fungsi rasional berikut}\\ &\begin{array}{llll}\\ \textrm{a}.&f(x)=\displaystyle \frac{5x^{2}+5x+1}{x^{2}-2x+1}&\textrm{c}.&f(x)=\displaystyle \frac{x-7}{3x-4}\\\\ \textrm{b}.&f(x)=\displaystyle \frac{6x}{2x^{2}-5}&\textrm{d}.&f(x)=\displaystyle \frac{x^{2}-2x-16}{2x+6} \end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\ &\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline &\multicolumn{3}{c|}{\textrm{Asimtot}}\\\cline{2-4} \raisebox{1.5ex}[0cm][0cm]{\qquad\qquad\textrm{Fungsi}} & \textrm{Mendatar}&\textrm{Tegak}&\textrm{Miring}\\\hline \textcircled{1}\quad f(x)=\displaystyle \frac{5x^{2}+5x+1}{x^{2}-2x+1}&y=\displaystyle \frac{5}{1}=5&\begin{aligned}x^{2}-2x+1&=0\\ (x-1)^{2}&=0\\ x&=1 \end{aligned}&\textrm{tidak ada}\\\hline \textcircled{2}\quad f(x)=\displaystyle \frac{6x}{2x^{2}-5}&y=\displaystyle \frac{0}{2}=0&\begin{aligned}2x^{2}-5&=0\\ x^{2}&=\displaystyle \frac{5}{2}\\ x&=\pm \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{10} \end{aligned}&\textrm{tidak ada}\\\hline \textcircled{3}\quad f(x)=\displaystyle \frac{x-7}{3x-4}&y=\displaystyle \frac{1}{3}&\begin{aligned}3x-4&=0\\ 3x&=4\\ x&=\displaystyle \frac{4}{3} \end{aligned}&\textrm{tidak ada}\\\hline \textcircled{4}\quad f(x)=\displaystyle \frac{x^{2}-2x-16}{2x+6}&\begin{aligned}y&=\displaystyle \frac{1}{0}\: (\textbf{TD})\\ &\textrm{ini artinya}\\ &\textbf{tidak ada} \end{aligned}&\begin{aligned}2x-6&=0\\ 2x&=6\\ x&=3 \end{aligned}&\begin{aligned}\textbf{ada}\: ,\quad \textrm{yaitu}:&\\ \displaystyle \frac{x^{2}-2x-16}{2x+6}&=\left (\displaystyle \frac{1}{2}x-\frac{5}{2} \right )+\displaystyle \frac{-1}{2x+6}\\ \textrm{maka}\: \: \: \phi (x)&=\displaystyle \frac{1}{2}x-\frac{5}{2} \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{array}.$ .