Kelas 10 - BAB 7 Trigonometri

A. Tentang Sudut

Sudut adalah pertemuan atau perpotongan 2 buah garis/sinar atau bangun yang dibentuk oleh dua garis yang yang berpotongan di sekitar titik potongnya.

Untuk ukuran sudut, kita mengenal ada beberapa macam, yaitu: derajat, radian, gone/grade.

$\begin{array}{|c|}\hline 1\: keliling\bigcirc =360^{0}=2\pi \: radian=400^{g}\\\hline atau\\\hline \frac{1}{2}\: keliling\bigcirc =180^{0}=\pi \: radian=200^{9}\\\hline \end{array}$ .

Perhatikan ilustrasi berikut

Selanjutnya yang sering dikenalkan adalah sudut dalam ukuran derajat dan radian.

Sebagai catatan:

Ukuran derajat yang diubah ke menit atau detik yang selanjutnya disebut dengan sistem seksagesimal, yaitu:

1 derajat = 60 menit = 3600 detik, atau

$\begin{array}{|c|}\hline 1^{\circ}={60}'={3600}''\\\hline \end{array}$ .

$\LARGE\fbox{Contoh Soal}$ .

1. $1^{0}=....rad$ .

2. $1\: radian=....^{0}$

3. Jadikanlah sudut $53,24^{0}$ dalam seksagesimal!

4. Jadikanlah sudut $23^{0}{12}'{24}''$ dalam satuan derajat!

Jawab:

1. Perhatikanlah

$\begin{aligned}360^{0}&=2\pi \: rad\\ 360\times 1^{0}&=2\pi \: rad\\ 1^{0}&=\frac{2\pi }{360}\\ &=\frac{\pi }{180}\: rad \end{aligned}$ .

Kadang dituliskan untuk $\pi \approx \frac{22}{7}\approx 3,14$ , tinggal kita masukkan saja sebagai ganti pi di atas.

2. Dengan cara mirip dengan no.1, yaitu

$\begin{aligned}2\pi \: rad&=360^{0}\\ 2\pi \times 1\: rad&=360^{0}\\ 1\: rad&=\left ( \frac{360}{2\pi } \right )^{0}\\ &=\left ( \frac{180}{\pi } \right )^{0} \end{aligned}$ .

3. Kita ingin menjadikan sudut dari ukuran derajat yang mengandung desimal ke seksagesimal.

Perhatikan langkahnya

$\begin{aligned}53,24^{0}&=53^{0}+0,24^{0}\\ &=53^{0}+0,24\times 1^{0}\\ &=53^{0}+0,24\times {60}'\\ &=53^{0}+{14,4}'\\ &=53^{0}+{14}'+{0,4}'\\ &=53^{0}+{14}'+0,4\times {1}'\\ &=53^{0}+{14}'+0,4\times {60}''\\ &=53^{0}+{14}'+{24}''\\ 53,24^{0}&=53^{0}{14}'{24}'' \end{aligned}$ .

4. Dengan cara yang kurang lebih sama, yaitu

$\begin{aligned}23^{0}{12}'{24}''&=23^{0}+12\times {1}'+24\times {1}''\\ &=23^{0}+12\times \left ( \frac{1}{60} \right )^{0}+24\times \left ( \frac{1}{3600} \right )^{0}\\ &=23^{0}+0,2^{0}+0,00\overline{666}^{0}\\ &=23,20\overline{666}^{0}\end{aligned}$ .

$\LARGE\fbox{Latihan Soal}$ .

$\begin{array}{cl}\\ 1.&27^{0}=.....rad\\ 2.&28\: rad=....^{0}\\ 3.&29,35^{0}=...^{0}{...}'{...}''\\ 4.&30^{0}{24}'{12}''=....^{0} \end{array}$ .

B. Perbandingan Sudut dalam Segitiga Siku-Siku

Perhatikanlah ilustrasi berikut ini

$\begin{matrix} \sin \alpha =\frac{BC}{AB}\\\\ \cos \alpha =\frac{AC}{AB}\\\\ \tan \alpha =\frac{BC}{AC}\\\\ \csc \alpha =\frac{AB}{BC}\\\\ \sec \alpha =\frac{AB}{AC}\\\\ \cot \alpha =\frac{AC}{BC} \end{matrix}$ .

Untuk Perbandingan Sudut istimewa amati tabel berikut, khususnya sudut $0^{0},30^{0},45^{0},60^{0},90^{0},180^{0}$ .

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \alpha ^{0}&0^{0}&15^{0}&30^{0}&45^{0}&60^{0}&75^{0}&90^{0}&180^{0}&270^{0}&360^{0}\\\hline \sin \alpha ^{0}&0&\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right )&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right )&1&0&-1&0\\\hline \cos \alpha ^{0}&1&\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right )&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\left ( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right )&0&-1&0&1\\\hline \tan \alpha ^{0}&0&2-\sqrt{3}&\frac{1}{3}\sqrt{3}&1&\sqrt{3}&2+\sqrt{3}&TD&0&TD&0\\\hline \end{array}$ .

Karena pada segitiga siku-siku berlaku teorema Pythagoras, maka ada baiknya kita ingat-ingat tripel Pythagoras di sini yang sering digunakan/dimunculkan .

$\LARGE\fbox{Contoh Soal}$ .

1. Tentukanlah nilai perbandingan $\sin \alpha ,\: \cos \alpha , \tan \alpha$ untuk segitiga berikut

Jawab:

(a) Untuk sisi miringnya adalah

$\begin{aligned}Sisi\: miring&=\sqrt{3^{2}+4^{2}}\\ &=\sqrt{9+16}\\ &=\sqrt{25}\\ &=5 \end{aligned}$ ,

$\sin \alpha =\frac{3}{5},\quad \cos \alpha =\frac{4}{5}.\quad dan\: \tan \alpha =\frac{3}{4}$ .

(b) Dengan langkah sebagaimana pada langkah (a), kita mendapatkan

$\begin{aligned}Sisi\: miring&=\sqrt{5^{2}+12^{2}}\\ &=\sqrt{25+144}\\ &=\sqrt{169}\\ &=13 \end{aligned}$ ,

$\sin \alpha =\frac{12}{13},\quad \cos \alpha =\frac{5}{13}.\quad dan\: \tan \alpha =\frac{12}{5}$ .

2. Hitunglah nilai dari

$\begin{array}{llll}\\ &&a.&\left ( \tan 30^{0}+\sin 30^{0} \right )\cos 30^{0}\\ &&b.&\left ( \tan 60^{0} \right )^{2}+4\left ( \sin 60^{0} \right )^{2}\\ &&c.&\tan 60^{0}-\sin 60^{0}-\tan 30^{0}\\ &&d.&\displaystyle \frac{1+\sin 30^{0}}{\sin 30^{0}}+\frac{\cos 30^{0}}{1+\sin 30^{0}}\\ &&e.&\displaystyle \frac{2\tan 30^{0}}{1+\tan ^{2}30^{0}} \end{array}$ .

Jawab:

$\begin{array}{llll}\\ &&a.&\left ( \tan 30^{0}+\sin 30^{0} \right )\cos 30^{0}\\ &&&=\displaystyle \left ( \frac{1}{3}\sqrt{3}+\frac{1}{2} \right ).\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ &&&=\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{4}\sqrt{3} \end{array}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&b.&\left ( \tan 60^{0} \right )^{2}+4\left ( \sin 60^{0} \right )^{2}\\ &&&\displaystyle =\left ( \sqrt{3} \right )^{2}+4\left ( \frac{1}{2}\sqrt{3} \right )^{2}\\ &&&\displaystyle =3+3\\ &&&=6 \end{array}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&c.&\tan 60^{0}-\sin 60^{0}-\tan 30^{0}\\ &&&=\displaystyle \sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{3}\sqrt{3}\\ &&&=\displaystyle \sqrt{3}-\frac{5}{6}\sqrt{3}\\ &&&=\displaystyle \frac{1}{6}\sqrt{3} \end{array}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&d.&\displaystyle \frac{1+\sin 30^{0}}{\sin 30^{0}}+\frac{\cos 30^{0}}{1+\sin 30^{0}}\\ &&&=\displaystyle \frac{1+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}+\frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{1+\frac{1}{2}}\\ &&&=\displaystyle 3+\frac{1}{3}\sqrt{3} \end{array}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&e.&\displaystyle \frac{2\tan 30^{0}}{1+\tan ^{2}30^{0}}\\ &&&=\displaystyle \frac{2\times \frac{1}{3}\sqrt{3}}{1+\left ( \frac{1}{3}\sqrt{3} \right )^{2}}\\ &&&=\displaystyle \frac{\frac{2}{3}\sqrt{3}}{1+\frac{1}{3}}\\ &&&=\displaystyle \frac{\frac{2}{3}\sqrt{3}}{\frac{4}{3}}\\ &&&=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{array}$ .

3. Perhatikan ilustrasi berikut

Jika Jarak antara kucing seorang pencatat dan kucing adalah 100 m, maka jarak Pencatat tersebut dengan seorang tentara sebagaimana gambar tersebut di atas adalah?

Jawab:

Perhatikan gambar di atas dengan diberikan tambahan keterangan sebagai berikut

Ditanya berpakah panjang jarak $\left ( x+100 \right )\: meter$ ?

$\begin{aligned}y&=y\\ x.\tan 60^{0}&=\left ( x+100 \right ).\tan 30^{0}\\ x.\sqrt{3}&=\left ( x+100 \right )\frac{1}{3}\sqrt{3}\\ 3x&=x+100\\ 2x&=100\\ x&=50 \end{aligned}$ .

Jadi $x+100=50+100=150$ meter.

4. Tentukanlah perbandingan trigonometri $\angle XOA$ jika $A(3,5)$ .

Jawab:

Perhatikan ilustrasi berikut

Dengan memandang ilustrasi gambar di atas kita mendapatkan $\triangle OAA'$ , dengan menggunakan teorema pythagoras kita mendapatkan

$\begin{aligned}OA^{2}&=\left ( OA' \right )^{2}+\left ( AA' \right )^{2}\\ &=3^{2}+5^{2}\\ &=9+25\\ &=34\\ OA&=\sqrt{34} \end{aligned}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&a.&\displaystyle \sin A'OA=\frac{5}{\sqrt{34}}=\frac{5}{34}\sqrt{34}\\ \\ &&b.&\displaystyle \cos A'OA=\frac{3}{\sqrt{34}}=\frac{3}{34}\sqrt{34}\\ \\ &&c.&\displaystyle \tan A'OA=\frac{5}{3}\\ \\ &&d.&\csc A'OA,\quad \sec A'OA,\quad \cot A'OA\quad silahkan\: \: coba\: \: sendiri\: \: sebagai\: \: latihan \end{array}$ .

C. Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub/Polar

Perhatikanlah ilustrasi berikut

$\begin{array}{|c|c|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{Koordinat}\\\hline Kartesius\: \rightarrow \: Kutub&Kutub\: \rightarrow \: Kartesius\\\hline P(x,y)\: \rightarrow \: P\left ( r,\alpha ^{0} \right )&P\left ( r,\alpha ^{0} \right )\: \rightarrow \: P(x,y)\\\hline r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\quad \displaystyle \tan \alpha ^{0}=\frac{y}{x},\quad \displaystyle \alpha ^{0}=\arctan \frac{y}{x}&\left\{\begin{matrix} x=r.\cos \alpha ^{0}\\ \\ y=r.\sin \alpha ^{0} \end{matrix}\right.\\\hline \end{array}$ .

D. Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran

$\begin{array}{llll}\\ &&(1).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudut\: \left ( 90^{0}-\alpha \right )\\ &&&a.\quad \sin \alpha \rightarrow \sin \left ( 90^{0}-\theta \right )=\cos \theta \\ &&&b.\quad \cos \alpha \rightarrow \cos \left ( 90^{0}-\theta \right )=\sin \theta \\ &&&c.\quad \tan \alpha \rightarrow \tan \left ( 90^{0}-\theta \right )=\cot \theta \\ &&&d.\quad \cot \alpha \rightarrow \cot \left ( 90^{0}-\theta \right )=\tan \theta \end{array}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&(2).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudut\: \left ( 180^{0}-\alpha \right )\\ &&&a.\quad \sin \alpha \rightarrow \sin \left ( 180^{0}-\theta \right )=\sin \theta \\ &&&b.\quad \cos \alpha \rightarrow \cos \left ( 180^{0}-\theta \right )=-\cos \theta \\ &&&c.\quad \tan \alpha \rightarrow \tan \left ( 180^{0}-\theta \right )=-\tan \theta \\ &&&d.\quad \cot \alpha \rightarrow \cot \left ( 180^{0}-\theta \right )=-\cot \theta \end{array}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&(3).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudut\: \left ( 180^{0}+\alpha \right )\\ &&&a.\quad \sin \alpha \rightarrow \sin \left ( 180^{0}+\theta \right )=-\sin \theta \\ &&&b.\quad \cos \alpha \rightarrow \cos \left ( 180^{0}+\theta \right )=-\cos \theta \\ &&&c.\quad \tan \alpha \rightarrow \tan \left ( 180^{0}+\theta \right )=\tan \theta \\ &&&d.\quad \cot \alpha \rightarrow \cot \left ( 180^{0}+\theta \right )=\cot \theta \end{array}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&(4).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudut\: \left ( 360^{0}-\alpha \right )\\ &&&a.\quad \sin \alpha \rightarrow \sin \left ( 360^{0}-\theta \right )=-\sin \theta \\ &&&b.\quad \cos \alpha \rightarrow \cos \left ( 360^{0}-\theta \right )=\cos \theta \\ &&&c.\quad \tan \alpha \rightarrow \tan \left ( 360^{0}-\theta \right )=-\tan \theta \\ &&&d.\quad \cot \alpha \rightarrow \cot \left ( 360^{0}-\theta \right )=-\cot \theta \end{array}$ .

Perhatikan ilustrasi berikut

[Sumber]

Untuk sudut $\alpha > 360^{0}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&(5).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudutnya\\ &&&a.\quad \sin \alpha \rightarrow \sin \left ( k.360^{0}+\theta \right )=\sin \theta \\ &&&b.\quad \cos \alpha \rightarrow \cos \left ( k.360^{0}+\theta \right )=\cos \theta \\ &&&c.\quad \tan \alpha \rightarrow \tan \left ( k.360^{0}+\theta \right )=\tan \theta \\ \end{array}$ .

Perbandingan trigonometri untuk sudut negatif

$\begin{array}{llll}\\ &&(6).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudutnya\\ &&&a.\quad \sin \left ( -\alpha \right ) = -\sin \alpha \\ &&&b.\quad \cos \left ( -\alpha \right ) =\cos \alpha \\ &&&c.\quad \tan \left ( -\alpha \right ) =-\tan \alpha \\ &&&d.\quad \csc \left ( -\alpha \right ) =-\csc \alpha \\ &&&e.\quad \sec \left ( -\alpha \right ) =\sec \alpha \\ &&&f.\quad \cot \left ( -\alpha \right ) =-\cot \alpha \end{array}$ .

$\LARGE\fbox{\fbox{Contoh Soal}}$ .

1. Tanpa menggunakan tabel/kalkulator tentukanlah nilai $\sin \alpha ,\: \cos \alpha \: dan\: \tan \alpha$ jika diketahui $\alpha =$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&a.&120^{0}\qquad b.\: 240^{0}\qquad c.\: 300^{0}\qquad d.\: 1125^{0} \end{array}$ .

Jawab:

$\begin{array}{llll}\\ &&(a).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudutnya\: 120^{0}\\ &&&1.\quad \sin 120^{0} = \sin \left ( 180^{0}-60^{0} \right )=\sin 60^{0}=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ &&&2.\quad \cos 120^{0} =\cos \left ( 180^{0}-60^{0} \right )=-\cos 60^{0}=-\displaystyle \frac{1}{2} \\ &&&3.\quad \tan 120^{0} =\tan \left ( 180^{0}-60^{0} \right )=-\tan 60^{0}=-\displaystyle \sqrt{3} \\ \end{array}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&(b).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudutnya\: 240^{0}\\ &&&1.\quad \sin 240^{0} = \sin \left ( 180^{0}+60^{0} \right )=-\sin 60^{0}=-\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ &&&2.\quad \cos 240^{0} =\cos \left ( 180^{0}+60^{0} \right )=-\cos 60^{0}=-\displaystyle \frac{1}{2} \\ &&&3.\quad \tan 240^{0} =\tan \left ( 180^{0}+60^{0} \right )=\tan 60^{0}=\displaystyle \sqrt{3} \\ \end{array}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&(c).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudutnya\: 300^{0}\\ &&&1.\quad \sin 300^{0} = \sin \left ( 360^{0}-60^{0} \right )=-\sin 60^{0}=-\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ &&&2.\quad \cos 300^{0} =\cos \left ( 360^{0}-60^{0} \right )=\cos 60^{0}=\displaystyle \frac{1}{2} \\ &&&3.\quad \tan 300^{0} =\tan \left ( 360^{0}-60^{0} \right )=-\tan 60^{0}=-\displaystyle \sqrt{3} \\ \end{array}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&(d).&Perbandingan\: Trigonometri\: untuk\: Sudutnya\: 1125^{0}\\ &&&1.\quad \sin 1125^{0} = \sin \left ( 3\times 360^{0}+45^{0} \right )=\sin 45^{0}=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ &&&2.\quad \cos 1125^{0} =\cos \left ( 3\times 360^{0}+45^{0} \right )=\cos 45^{0}=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ &&&3.\quad \tan 1125^{0} =\tan \left ( 3\times 360^{0}+45^{0} \right )=\tan 45^{0}=1 \\ \end{array}$ .

2. Tunjukkan bahwa

$\begin{array}{llll}\\ &&a.&\displaystyle \frac{\sec \left ( 180^{0}-\alpha \right )}{\tan \left ( 180^{0}+\alpha \right )}=-\csc \alpha \\\\ &&b.&\displaystyle \frac{\sin \left ( 90^{0}-\alpha \right )}{\sec \left ( 180^{0}-\alpha \right )}=-\cos ^{2}\alpha \\\\ &&c.&\displaystyle \frac{\cot 99^{0}}{\cos 198^{0}}\times \frac{\cos 378^{0}}{\cos 81^{0}}=\sec 9^{0}\\\\ &&d.&\tan 71^{0}+\tan 289^{0}+\tan 161^{0}+\tan 199^{0}=0 \end{array}$ .

Jawab:

$\begin{array}{llll}\\ &&a.&\displaystyle \frac{\sec \left ( 180^{0}-\alpha \right )}{\tan \left ( 180^{0}+\alpha \right )} \\ &&&=\displaystyle \frac{-\sec \alpha }{\tan \alpha }=\frac{-\frac{1}{\cos \alpha }}{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}=-\frac{1}{\sin \alpha }=-\csc \alpha \end{array}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&b.&\displaystyle \frac{\sin \left ( 90^{0}-\alpha \right )}{\sec \left ( 180^{0}-\alpha \right )} \\ &&&=\displaystyle \frac{\cos \alpha }{-\sec \alpha }=\frac{\cos \alpha }{-\frac{1}{\cos \alpha }}=-\cos ^{2}\alpha \\ \end{array}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&c.&\displaystyle \frac{\cot 99^{0}}{\cos 198^{0}}\times \frac{\cos 378^{0}}{\cos 81^{0}}\\ &&&=\displaystyle \frac{-\cot 81^{0}}{-\cos 18^{0}}\times \frac{\cos \left ( 360^{0}+18^{0} \right ) }{\cos 81^{0}}= \frac{\frac{\cos 81^{0}}{\sin 81^{0}}}{\cos 81^{0}}=\frac{1}{\sin 81^{0}}\\ &&&=\displaystyle \frac{1}{\sin \left ( 90^{0}-9^{0} \right )}=\frac{1}{\cos 9^{0}}=\sec 9^{0} \end{array}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&d.&\tan 71^{0}+\tan 289^{0}+\tan 161^{0}+\tan 199^{0}\\ &&&=\tan 71^{0}+\tan \left ( 360^{0}-71^{0} \right )+\tan \left ( 180^{0}-19^{0} \right )+\tan \left ( 180^{0}+19^{0} \right )\\ &&&=\tan 71^{0}-\tan 71^{0}-\tan 19^{0}+\tan 19^{0}\\ &&&=0 \end{array}$ .

3. Diketahui koordinat kutub titik M adalah $M\left ( 8,60^{0} \right )$ , maka koordinat kartesiusnya adalah….

Jawab:

$Diketahui\quad M\left ( 8,60^{0} \right )\: \rightarrow \: M\left ( x,y \right ).....?\\\\ M\left ( 8,60^{0} \right )\left\{\begin{matrix} r=8\\ \\ \alpha ^{0}=60^{0} \end{matrix}\right.\\\\ \begin{aligned}M\left ( 8,60^{0} \right )&\Rightarrow \\ x&=r.\cos \alpha ^{0} &=8.\cos 60^{0} &=8.\left ( \frac{1}{2} \right ) &=4\\ y&=r.\sin \alpha ^{0} &=8.\sin 60^{0} &=8.\frac{1}{2}\sqrt{3} &=4\sqrt{3} \end{aligned}\\\\ Jadi\quad M\left ( 8,60^{0} \right )\: \rightarrow \: M\left ( 4,4\sqrt{3} \right )$ .

E. Identitas Trigonometri

$\begin{array}{llll}\\ &&1.&\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1\\\\ &&2.&\sec ^{2}\alpha -\tan ^{2}\alpha =1\\\\ &&3.&\csc ^{2}\alpha -\cot ^{2}\alpha =1\\\\ &&4.&\displaystyle \tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{1}{\cot \alpha }\\\\ &&5.&\displaystyle \csc \alpha =\frac{1}{\sin \alpha }\\\\ &&6.&\displaystyle \sec \alpha =\frac{1}{\cos \alpha } \end{array}$ .

F. Fungsi Trigonometri

Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut untuk grafik fungsi sinus dan cosinus

[Sumber]

Untuk fungsi tangen,

[sumber]

Fungsi Sinus , f(x)= sin x

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&0&\frac{\pi }{6}&\frac{\pi }{4}&\frac{\pi }{3}&\frac{\pi }{2}&\frac{2\pi }{3}&\frac{3\pi }{4}&\frac{5\pi }{6}&\pi &\frac{7\pi }{6}&\frac{5\pi }{4}&\frac{4\pi }{3}&\frac{3\pi }{2}&\frac{5\pi }{3}&\frac{7\pi }{4}&\frac{11\pi }{6}&2\pi \\\hline f(x)&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}&1&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}&0&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{3}&-1&-\frac{1}{2}\sqrt{3}&-\frac{1}{2}\sqrt{2}&-\frac{1}{2}&0\\\hline \end{array}$ .

Fungsi Cosinus , f(x)=cos x

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&0&\frac{\pi }{6}&\frac{\pi }{4}&\frac{\pi }{3}&\frac{\pi }{2}&\frac{2\pi }{3}&\frac{3\pi }{4}&\frac{5\pi }{6}&\pi &\frac{7\pi }{6}&\frac{5\pi }{4}&\frac{4\pi }{3}&\frac{3\pi }{2}&\frac{5\pi }{3}&\frac{7\pi }{4}&\frac{11\pi }{6}&2\pi \\\hline f(x)&1&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}&0&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{3}&-1&-\frac{1}{2}\sqrt{3}&-\frac{1}{2}\sqrt{2}&-\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}&1\\\hline \end{array}$ .

Fungsi Tangen , f(x)=tan x

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&0&\frac{\pi }{6}&\frac{\pi }{4}&\frac{\pi }{3}&\frac{\pi }{2}&\frac{2\pi }{3}&\frac{3\pi }{4}&\frac{5\pi }{6}&\pi &\frac{7\pi }{6}&\frac{5\pi }{4}&\frac{4\pi }{3}&\frac{3\pi }{2}&\frac{5\pi }{3}&\frac{7\pi }{4}&\frac{11\pi }{6}&2\pi \\\hline f(x)&0&\frac{1}{3}\sqrt{3}&1&\sqrt{3}&\infty &-\sqrt{3}&-1&-\frac{1}{3}\sqrt{3}&0&\frac{1}{3}\sqrt{3}&1&\sqrt{3}&\infty &-\sqrt{3}&-1&-\frac{1}{3}\sqrt{3}&0\\\hline \end{array}$ .

Untuk :

$f(x)=\left\{\begin{matrix} a\: \sin k\left ( x\pm \theta \right )\pm c\\\\ a\: \cos k\left ( x\pm \theta \right )\pm c\\\\ a\: \tan k\left ( x\pm \theta \right )\pm c \end{matrix}\right.$ .

$Periode\quad fungsi=\left\{\begin{matrix} \sin \: atau\: \cos=\displaystyle \frac{360^{0}}{\left | k \right |}\\ \\ \tan \: atau\: \cot =\displaystyle \frac{180^{0}}{\left | k \right |} \end{matrix}\right.$ .

$nilai\quad fungsi\quad \sin\: atau\: \cos=\left\{\begin{matrix} f(x)_{max}=\left | a \right |\pm c\\ \\ f(x)_{min}=-\left | a \right |\pm c \end{matrix}\right.$ .

$Amplitudo=\frac{1}{2}\left ( f(x)_{mak}-f(x)_{min} \right )$ .

G. Persamaan Trigonometri Sederhana

$\begin{array}{lllll}\\ &&1.&&Jika\quad \sin x^{0}=\sin \alpha ,\quad maka\\ &&&&(i)\quad x^{0}=\alpha +k.360^{0}\\ &&&&(ii)\quad x^{0}=\left ( 180^{0}-\alpha \right )+k.360^{0}\\\\ &&2.&&Jika\quad \cos x^{0}=\cos \alpha ,\quad maka\\ &&&&x^{0}=\pm \alpha +k.360^{0}\\\\ &&3.&&Jika\quad \tan x^{0}=\tan \alpha ,\quad maka\\ &&&&x^{0}=\alpha +k.180^{0} \end{array}$ .

$\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{Contoh Soal}}$ .

1. Buktikan bahwa $\displaystyle \frac{\cos \alpha }{1+\sin \alpha }=\frac{1-\sin \alpha }{\cos \alpha }$ .

Bukti:

$\begin{aligned}\frac{\cos \alpha }{1+\sin \alpha }&=\frac{\cos \alpha }{1+\sin \alpha }\times \frac{1-\sin \alpha }{1-\sin \alpha }\\ &=\frac{\cos \alpha \times \left ( 1-\sin \alpha \right )}{1-\sin ^{2}\alpha }\\ &=\frac{\cos \alpha \times \left ( 1-\sin \alpha \right )}{\cos ^{2}\alpha }\\ &=\frac{1-\sin \alpha }{\cos \alpha }\quad (\mathbf{Terbukti}) \end{aligned}$ .

2. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan $\displaystyle \cos \left ( 3x-45^{0} \right )=-\frac{1}{2}\sqrt{2},\quad untuk\quad 0^{0}\leq x\leq 360^{0}$ .

Jawab:

$\begin{aligned}\cos \left ( 3x-45^{0} \right )&=-\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \cos \left ( 3x-45^{0} \right )&=\cos 135^{0}\\ 3x-45^{0}&=\pm 135^{0}+k.360^{0}\\ 3x&=45^{0}\pm 135^{0}+k.360^{0}\\ x&=\displaystyle \frac{45^{0}\pm 135^{0}+k.360^{0}}{3}\\ x&=15^{0}\pm 45^{0}+k.120^{0}\\ x&=60^{0}+k.120^{0}\qquad atau\qquad x=-30^{0}+k.120^{0}\\ k=0,\qquad \rightarrow x&=60^{0}\qquad\qquad\qquad atau\qquad x=90^{0}\\ k=1,\qquad \rightarrow x&=180^{0}\qquad\qquad\qquad atau\qquad x=210^{0}\\ k=2,\qquad \rightarrow x&=300^{0}\qquad\qquad\qquad atau\qquad x=330^{0} \end{aligned}$ .

Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah = $\left \{ 60^{0}, 90^{0}, 180^{0}, 210^{0}, 300^{0},330^{0} \right \}$ .

3. Lukislah grafik fungsi $\displaystyle f(x)=2\left | \sin x \right |+1,\qquad untuk\quad 0\leq x\leq 2\pi .$ .

Jawab:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&0&\frac{\pi }{6}&\frac{\pi }{3}&\frac{\pi }{2}&\frac{2\pi }{3}&\frac{5\pi }{6}&\pi &\frac{7\pi }{6}&\frac{4\pi }{3}&\frac{3\pi }{2}&\frac{5\pi }{3}&\frac{11\pi }{6}&2\pi \\\hline \sin x&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}&1&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}&0&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{3}&-1&-\frac{1}{2}\sqrt{3}&-\frac{1}{2}&0\\\hline \left | \sin x \right |&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}&1&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\sqrt{3}&1&\frac{1}{2}\sqrt{3}&\frac{1}{2}&0\\\hline 2\left | \sin x \right |&0&1&\sqrt{3}&2&\sqrt{3}&1&0&1&\sqrt{3}&2&\sqrt{3}&1&0\\\hline 2\left | \sin x \right |+1&1&2&1+\sqrt{3}&3&1+\sqrt{3}&2&1&2&1+\sqrt{3}&3&1+\sqrt{3}&2&1\\\hline \end{array}$ .

Untuk gambar silahkan pembaca melukiskannya sendiri sebagai latihan.

H. Aturan Sinus, Kosinus, dan Luas Segitiga

1. Aturan Sinus

$\begin{array}{|c|}\hline \displaystyle \frac{a}{\sin A}= \frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\\\hline \end{array}$ .

2. Aturan Kosinus

$\begin{aligned}\cos A&=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\\ \cos B&=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\\ \cos C&=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \end{aligned}$ .

3. Luas Segitiga

$\begin{aligned}Luas\: \triangle \: ABC&=\frac{1}{2}.bc.\sin A\\ &=\frac{1}{2}.ac.\sin B\\ &=\frac{1}{2}.ab.\sin C \end{aligned}$ .

atau

$\begin{aligned}Luas\: \triangle \: ABC&=\frac{a^{2}.\sin B.\sin C}{2\sin A}\\ &=\frac{b^{2}.\sin A.\sin C}{2\sin B}\\ &=\frac{c^{2}.\sin A.\sin B}{2\sin C} \end{aligned}$ .

atau

$\begin{aligned}Luas\: \triangle \: ABC&=\sqrt{s\left ( s-a \right )\left ( s-b \right )\left ( s-c \right )}\qquad dengan\qquad s=\frac{1}{2}\left ( a+b+c \right ) \end{aligned}$ .

$\begin{tabular}{|p{6.0cm}cp{6.0cm}|}\hline &\textbf{Contoh Soal}&\\\hline \end{tabular}$ .

1. Diketahui $\triangle ABC$ dengan panjang sisi AC=10 cm dan BC=16 cm serta luas $\triangle ABC=40\: cm^{2}$ , maka besar $\angle ACB$ jika sudutnya lancip adalah …

Jawab:

Diketahui $\left\{\begin{matrix} AC=10\: cm\\ BC=16\: cm\\ L_{\triangle }=40\: cm^{2} \end{matrix}\right.$ , maka

$\begin{aligned}L_{\triangle ABC}&=\frac{1}{2}.AC.BC.\sin \angle ACB\\ 40&=\frac{1}{2}.10.16.\sin \angle ACB\\ 40&=80.\sin \angle ACB\\ \frac{40}{80}&=\sin \angle ACB\\ \sin \angle ACB&=\frac{1}{2}\\ \sin \angle ACB&=\sin 30^{0}\\ \angle ACB&=30^{0} \end{aligned}$ .

2. Perhatikanlah gambar berikut

Jika $AB+3=BC+2=CD+1=AD=4\: cm$ , maka $\cos \angle BAD$ adalah ….

Jawab:

Perhatikan kembali ilustrasi berikut

Langkah awal kita gunakan garis bantu BD untuk nantinya kita mendapatkan nilai cos dari sudut A, yaitu

$\begin{aligned}BD^{2}&=BA^{2}+DA^{2}-2.BA.DA.\cos \angle A\\ &=1^{2}+4^{2}-2.1.4.\cos \angle A\\ &=17-8\cos \angle A\\ BD^{2}&=BC^{2}+DC^{2}-2.BC.DC.\cos \angle C\\ &=2^{2}+3^{2}-2.2.3.\cos \angle C\\ &=13-12\cos \angle C \end{aligned}\\\\ Perlu\quad diketahui\quad bahwa \angle A+\angle C=\angle B+\angle C=180^{0},\qquad karena\quad ABCD\quad segiempat\quad talibusur\\\\ Sehingga,\\\\ \angle C=180^{0}-\angle A$ .

Selanjutnya,

$\begin{aligned}BD^{2}&=BD^{2}\\ 17-8\cos \angle A&=13-12\cos \angle C\\ 12\cos \angle C-8\cos \angle A&=13-17\\ 12\left ( \cos \left ( 180^{0}-\angle A \right ) \right )-8\cos \angle A&=-4\\ 12\left ( -\cos \angle A \right )-8\cos \angle A&=-4\\ -12\cos \angle A-8\cos \angle A&=-4\\ -20\cos \angle A&=-4\\ \cos \angle A&=\frac{-4}{-20}\\ \cos \angle A&=\frac{1}{5} \end{aligned}$ .

3. Carilah luas $\triangle ABC$ jika diketahui AB=10 cm, AC=14 cm dan BC=16 cm.

Jawab:

$Diketahui\:\: bahwa\:\: L_{\triangle ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\quad dengan s=\frac{1}{2}\left ( a+b+c \right )\quad \left\{\begin{matrix} AB=c=10\: cm\\ AC=b=14\: cm\\ BC=a=16\: cm \end{matrix}\right.\\\\ s=\frac{1}{2}\left ( 10+14+16 \right )=\frac{1}{2}.40=20\\\\ \begin{aligned}L_{\triangle ABC}&=\sqrt{20.\left ( 20-10 \right ).\left ( 20-14 \right ).\left ( 20-10 \right )}.\\ &=\sqrt{20(10)(6)(4)}\\ &=\sqrt{4800}\\ &=40\sqrt{3}\quad cm^{2} \end{aligned}$ .

$\LARGE \fbox{\LARGE \fbox{Latihan Soal}}$ .

1. Perhatikanlah gambar berikut

Tentukanlah nilai $\cos \angle RSP$ .

2. Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut

Carilah besar sudut dan panjang sisi yang belum diketahui dari segitiga di atas, kemudian cari pula luasnya?

Sebuah sudut akan terbentuk dari dua buah sinar yang berpotongan. Sedangkan sinar sendiri di sini adalah sebuah garis yang berpangkal pada sebuah titik dan memanjang ke suatu arah tertentu.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Dari ilustrasi gambar dua sinar di atas, antara sinar $\underset{OA}{\rightarrow}$ dan sinar $\underset{OB}{\rightarrow}$ bertemu di titik O sehingga terbentuklah sudut $\angle AOB$ .

Pada materi di tingkat SMP di kenalkan ukuran sudut dalam derajat dan radian. Selanjutnya secara singkat dapat dituliskan pada satu lingkaran penuh akan terdapat $360^{0}$ atau $2\pi$ radian.

Coba perhatikan ilustrasi berikut!

Jika ditunjukkan dengan tabel ukuran sudutnya adalah sebagai berikut:

$\begin{array}{|l|c|c|}\hline \quad\textrm{\textbf{Ukuran Sudut untuk}}&\textrm{\textbf{Derajat}}&\textrm{\textbf{Radian}}\\\hline \textrm{Satu Lingkaran Penuh}&360^{0}&\begin{matrix} 2\pi & rad \end{matrix}\\\hline \textrm{Setengah Lingkaran Penuh}&180^{0}&\begin{matrix} \pi & rad \end{matrix}\\\hline \textrm{Seperempat Lingkaran}&90^{0}&\begin{matrix} \displaystyle \frac{1}{2}\pi & rad \end{matrix} \\\hline \textrm{Seperlima lingkaran}&72^{0}&\begin{matrix} \displaystyle \frac{2}{5}\pi & rad \end{matrix}\\\hline \qquad\qquad\quad\quad\vdots &\vdots &\vdots \\\hline \qquad\qquad\quad\: \, dst&dst&dst\\\hline \end{array}$ .

Sebagai catatan ukuran sudut yang diubah ke menit dan/atau detik dinamakan sebagai sistem seksagesimal, yaitu:

$\begin{aligned}1^{0}&=\begin{cases} {60}' & \text{dibaca} \: \: 60 \: \: \textrm{menit}\\\\ {3600}'' & \text{ dibaca } \: \: 3600\: \: detik \end{cases}\\\\ \textrm{in}&\textrm{gat}\: \, \: {1}'={60}''\: \: (\textrm{satu menit = 60 detik})\\ &\qquad 1^{0}={60}'=60\times {1}'=60\times {60}''={3600}'' \end{aligned}$ .

Mata Pelajaran Goteach

Search This Blog

Blog Competition 2019 #2019GANTIBIMBEL

Kelas 10 - BAB 7 Trigonometri