Blog Competition 2019 #2019GANTIBIMBEL

on

Kelas 10 - BAB 2 Pertidaksamaan Rasional dan Irasional

on
A. Pengertian
Secara definisi
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka dalam matematika yang dihubungkan dengan tanda \left ( < ,\: \leq ,\: > ,\:\: \textrm{dan}\: \: \geq \right ).
Penjelasan lebih lanjut
\begin{array}{|c|c|l|}\hline \textrm{Notasi}&\textrm{Ilustrasi}&\textrm{Dibaca}\\\hline < &m< n&\textrm{\textit{m} kurang dari \textit{n}}\\\hline \leq &m\leq n&\textrm{\textit{m} kurang dari atau sama dengan \textit{n}}\\\hline > &m> n&\textrm{\textit{m} lebih dari \textit{n}}\\\hline \geq &m\geq n&\textrm{\textit{m} lebih dari atau sama dengan \textit{n}}\\\hline \multicolumn{3}{|c|}{\textrm{Sebagai tambahan penjelasan}}\\\hline \multicolumn{2}{|c|}{m< x< n}&\textrm{\textit{x} lebih dari \textit{m} dan \textit{x} kurang dari \textit{n}}\\\hline \multicolumn{2}{|c|}{m\leq x\leq n}&\textrm{menyesuaikan}\\\hline \multicolumn{2}{|c|}{m< x\: \: \textrm{atau}\: \: x> n}&\textrm{\textit{x} kurang dari \textit{m} atau \textit{x} lebih dari \textit{n}}\\\hline \multicolumn{2}{|c|}{m\leq x\: \: \textrm{atau}\: \: x\geq n}&\textrm{Menyesuaikan}\\\hline \end{array}.
Sifat Operasi pertidaksamaan
\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|}\hline &\multicolumn{5}{c|}{\textrm{Operasi Pertidaksamaan untuk a, b, c bilangan real}}\\\cline{2-6}\raisebox{1.5ex}[0cm][0cm]{No}&\textrm{Urutan}&\textrm{Dijumlah/dikurangi}&\textrm{Dikalikan/dibagi}&\textrm{Dikalikan/dibagi}&\textrm{Dikuadratkan}\\\hline 1.&\begin{aligned}&a< b\\ &b< c\\ &\textrm{maka}\\ &a< c\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&a< b\\ &\textrm{maka berlaku}\\ &a+c< c+b\\ &\textrm{atau}\\ &a-c< b-c\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{tidak berubah}\\ &\textrm{tanda jika c}\\ &\textrm{bilangan positif}\\ &a< b\\ &\textrm{maka}\\ &ac< bc\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{berubah tanda}\\ &\textrm{jika c negatif}\\ &a< b\\ &\textrm{maka}\\ &ac> bc\\ &\textrm{demikian juga}\\ &\textrm{sebaliknya} \end{aligned}&\begin{aligned}&a< b\\ &\textrm{maka}\\ &a^{2}< b^{2}\\ &\textrm{atau}\\ &a> b\\ &\textrm{maka}\\ &a^{2}> b^{2} \end{aligned}\\\hline 2.&\multicolumn{5}{l|}{\begin{aligned}&\textrm{Diketahui}\\ &\displaystyle \frac{a}{c}< \displaystyle \frac{b}{c}\\ &\textrm{maka jika dibalik bilangan pecahan ini akan menjadi}\\ &\displaystyle \frac{c}{a}> \displaystyle \frac{c}{b} \end{aligned}}\\\hline \end{array}.
B. Pertidaksamaan Linear
Pertidaksamaan linear didefinisikan sebagai pertidaksamaan linear untuk variabel dengan pangkat tertinggi satu.
\LARGE{\fbox{\LARGE{\fbox{Contoh Soal}}}}.
\begin{array}{ll}\\ \fbox{1}.&\textrm{Tentukanlah himpunan penyelesaian dari}\\ &\begin{array}{lllllllll}\\ a.\quad x+3> 0&f.\quad 2x-5\leq 6x+3\\ b.\quad 3x+18\leq 0&g.\quad 1-x< 2+7x\\ c.\quad 14+7x\geq 0&h.\quad \displaystyle \frac{1}{6}x-5\geq \displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\\ d.\quad 6\leq -2x&i.\quad \displaystyle \frac{1}{2}x-\frac{5}{12}< -\frac{1}{3}x+\frac{3}{2}\\ e.\quad -2x-8< 0&j.\quad -\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{7}{8}x> \displaystyle \frac{1}{4}x-\frac{5}{8}\end{array} \end{array}.
\textrm{Jawab}:\\\\ \begin{array}{llllll}\\ \begin{aligned}\textrm{a}.\quad x+3&> 0\\ x&> -3\\ &\\ \textrm{HP}=&\left \{ x|x> -3,\: x\in \mathbb{R} \right \} \end{aligned}&\quad \begin{aligned}\textrm{b}.\quad 3x+18&\leq 0\\ x+6&\leq 0\quad \textrm{(masing-masing ruas dibagi 3)}\\ x&\leq -6\\ \textrm{HP}=&\left \{ x |x\leq -6,\: x\in \mathbb{R}\right \} \end{aligned}&&&&\\\\ \begin{aligned}\textrm{c}.\quad 14+7x&\geq 0\\ 2+x&\geq 0\\ x&\geq -2\\ &\\ \textrm{HP}=&\left \{ x|x\geq -2,\: x\in \mathbb{R} \right \}\\ &\end{aligned}&\quad \begin{aligned}\textrm{d}.\quad 6&\leq -2x\\ -2x&\geq 6\\ -x&\geq 3\\ x&\leq -3\quad \textrm{(perhatikanlah perubahan tandanya)}\\ &\\ \textrm{HP}=&\left \{ x|x\leq -3,\: x\in \mathbb{R} \right \} \end{aligned} \end{array}

C. Pertidakamaan Kuadrat
Bentuk Umum :
\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&\: \: \begin{cases} < \\ \leq \\ > \\ \geq \end{cases} 0\\ \textrm{dengan}\: &a, \: b,\: c\: \in \mathbb{R},\: a\neq 0 \end{aligned}..
\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \textrm{Pertidaksamaan Kuadrat}&\textrm{Akar}&\textrm{Syarat}&\textrm{Himpunan Penyelesaian (HP)}\\\hline \begin{aligned}ax^{2}+bx+c&\: \: \begin{cases} < \\ \leq \\ > \\ \geq \end{cases} 0\\ \textrm{dengan}\: &a, \: b,\: c\: \in \mathbb{R},\: a\neq 0 \end{aligned} &\begin{aligned}&x_{1}\: \textrm{dan}\: x_{2}\\ &\textrm{dengan}\: x_{1}\neq x_{2} \end{aligned}&x_{1}< x_{2}&\begin{cases} ax^{2}+bx+c< 0, &\textrm{HP}=\left \{ x|x_{1}< x< x_{2},\: x\in \mathbb{R} \right \} \\ ax^{2}+bx+c\leq 0, &\textrm{HP}=\left \{ x|x_{1}\leq x\leq x_{2},\: x\in \mathbb{R} \right \} \\ ax^{2}+bx+c> 0, &\textrm{HP}=\left \{ x|x< x_{1}\: \textrm{atau}\: x> x_{2},\: x\in \mathbb{R} \right \} \\ ax^{2}+bx+c\geq 0, &\textrm{HP}=\left \{ x|x\leq x_{1}\: \textrm{atau}\: x\geq x_{2},\: x\in \mathbb{R} \right \} \end{cases}\\\hline \end{array}.
.
\begin{array}{ll}\\ &\textrm{Tentukanlah himpunan penyelesaian dari}\\ &\begin{array}{lllllllll}\\ \textrm{a}.\quad x^{2}-2x-8< 0&\textrm{c}.\quad 3x^{2}-2x+5> 0\\ \textrm{b}.\quad -x-x^{2}< -6&\textrm{d}.\quad -x^{2}+x-3\leq 0\\ \end{array} \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\ \begin{array}{lllll}\\ \begin{aligned}\textrm{a}.\quad &x^{2}-2x-8< 0\\ &\textrm{ubahlah tanda pertidaksamaan}\\ &\textrm{dengan persamaan, sehingga}\\ &x^{2}-2x-8=0\\ &(x-4)(x+2)=0\\ &x=4\: \: \textrm{atau}\: \: x=-2\\ &\underset{\begin{matrix} |\\ x_{1} \end{matrix}}{x=-2}\: \: \textrm{atau}\: \: \underset{\begin{matrix} |\\ x_{2} \end{matrix}}{x=4}\\ &\textrm{HP}=\left \{ x|-2< x< 4,\: x\in \mathbb{R} \right \} \end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{b}.\quad &-x-x^{2}< -6 \Rightarrow 6-x-x^{2}< 0\Rightarrow x^{2}+x-6> 0\quad (\textrm{dikalikan dengan -1})\\ &\textrm{ubahlah tanda pertidaksamaan}\\ &\textrm{dengan persamaan, sehingga}\\ &x^{2}+x-6=0\\ &(x+3)(x-2)=0\\ &x=-3\: \: \textrm{atau}\: \: x=2\\ &\underset{\begin{matrix} |\\ x_{1} \end{matrix}}{x=-3}\: \: \textrm{atau}\: \: \underset{\begin{matrix} |\\ x_{2} \end{matrix}}{x=2}\\ &\textrm{HP}=\left \{ x|x< -3\: \textrm{atau}\: x> 2,\: x\in \mathbb{R} \right \} \end{aligned}&& \end{array}.
Untuk jawaban c dan d karena keduanya masing-masing adalah definit positif (c) dan definit negatif (d), maka  \textrm{HP}=\left \{ x|x\in \mathbb{R} \right \}.
D. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan
Pertidaksamaan bentuk pecahan adalah pertidaksamaan yang memuat pecahan bentuk aljabar.
\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \textrm{Bentuk Pertidaksamaan}&\textrm{Perlu diingat}&\textrm{Misal}&\textrm{Untuk Bagian Penyebut}\\\hline \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\: \: \begin{cases} < \\ \leq \\ > \\ \geq \end{cases}\displaystyle \frac{h(x)}{k(x)}&\begin{aligned}&\textrm{Tidak boleh dikali silang}\\ &\textrm{jika penyebutnya baik}\\ &\textrm{salah satu atau keduanya}\\ &\textrm{mengandung variabel x} \end{aligned}&\displaystyle \frac{6}{2x-8}< \frac{3x}{2x-8}&\begin{aligned}&\textrm{Jika pada pertiaksamaan bertanda}\\ &\displaystyle \frac{\cdots }{x-a}\geq \frac{\cdots }{x-b}\: \: \textrm{atau}\: \: \displaystyle \frac{\cdots }{x-a}\leq \frac{\cdots }{x-b}\\ &\textrm{maka}\: x\neq a\: \textrm{dan}\: x\neq b\end{aligned}\\\hline \end{array}


\begin{aligned}\LARGE\textbf{Pertidak}&\LARGE\textbf{samaan Rasional}\\ &\\ &\begin{cases} \LARGE\textbf{A} & \begin{aligned}&\\ \begin{cases} \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} & <0 \\\\ \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} & \leq 0 \\\\ \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} & >0 \\\\ \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} & \geq 0 \end{cases}&\begin{matrix} \LARGE\textbf{misalnya} & \begin{cases} \displaystyle \frac{x-2}{x+3} & <0 \\\\ \displaystyle \frac{x-2}{x+3} & \leq 0 \\\\ \displaystyle \frac{x-2}{x+3} & >0 \\\\ \displaystyle \frac{x-2}{x+3} & \geq 0 \end{cases} \end{matrix}\\ & \end{aligned} \\ \LARGE\textbf{B} & \begin{aligned}&\\ \begin{cases} \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} & <0 \\\\ \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} & \leq 0 \\\\ \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} & >0 \\\\ \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} & \geq 0 \end{cases}&\begin{matrix} \LARGE\textbf{misalnya} & \begin{cases} \displaystyle \frac{x^{2}-4}{x+1} & <0 \\\\ \displaystyle \frac{x^{2}-4}{x+1} & \leq 0 \\\\ \displaystyle \frac{x^{2}-4}{x+1} & >0 \\\\ \displaystyle \frac{x^{2}-4}{x+1} & \geq 0 \end{cases} \end{matrix}\\ & \end{aligned} \\ \LARGE\textbf{C} & \begin{aligned}&\\ \begin{cases} \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} & <0 \\\\ \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} & \leq 0 \\\\ \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} & >0 \\\\ \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} & \geq 0 \end{cases}&\begin{matrix} \LARGE\textbf{misalnya} & \begin{cases} \displaystyle \frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}-4} & <0 \\\\ \displaystyle \frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}-4} & \leq 0 \\\\ \displaystyle \frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}-4} & >0 \\\\ \displaystyle \frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}-4} & \geq 0 \end{cases} \end{matrix}\\ & \end{aligned} \end{cases}\\ &\\ \end{aligned}.
Sebagai penjelasannya misalkan pada poin A  urutan no. 1 dan no. 2 adalah sebagai berikut:
\begin{array}{|c|c|}\hline \begin{aligned}&\\ &\displaystyle \frac{x-2}{x+3}<0\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&\\ &\displaystyle \frac{x-2}{x+3}\leq 0\\ & \end{aligned} \\\hline \multicolumn{2}{|c|}{\Large\textbf{Wilayahnya}}\\\hline \begin{aligned} &\begin{array}{ll|llll|llll}\\ &\multicolumn{2}{c}{.}&&&\multicolumn{2}{c}{.}&\\ &\multicolumn{2}{r}{.}&&&\multicolumn{2}{l}{.}&&\\\cline{3-6} &+&&-&-&&+&&\\\hline &\multicolumn{2}{c}{-3}&&&\multicolumn{2}{l}{2}&& \end{array}\\ &\\ \textbf{HP}&=\left \{ x|-3<x<2,\: x\in \mathbb{R} \right \}\\ & \end{aligned}&\begin{aligned} &\begin{array}{ll|llll|llll}\\ &\multicolumn{2}{c}{.}&&&\multicolumn{2}{c}{.}&\\ &\multicolumn{2}{r}{.}&&&\multicolumn{2}{l}{.}&&\\\cline{3-6} &+&&-&-&&+&&\\\hline &\multicolumn{2}{c}{-3}&&&\multicolumn{2}{l}{\textcircled{2}}&& \end{array} \\ &\\ \textbf{HP}&=\left \{ x|-3<x\leq 2,\: x\in \mathbb{R} \right \}\\ & \end{aligned}\\\hline \multicolumn{2}{|c|}{\begin{aligned}&\\ \textrm{Untuk}&\: \textrm{bilangan yang dilingkari}\\ &\textrm{diartikan termasuk yang memenuhi}.\\ &\textrm{Jika tidak dilingkari maka tidak memenuhi}\\ &\end{aligned}}\\\hline \end{array}

Persamaan Irrasional
\textbf{Bentuk Umum}:\: \: \sqrt{f(x)}\cdots \sqrt{g(x)}\: \begin{cases} \sqrt{f(x)}< \sqrt{g(x)}\\\\ \sqrt{f(x)}\leq \sqrt{g(x)} \\\\ \sqrt{f(x)}> \sqrt{g(x)} \\\\ \sqrt{f(x)}\geq \sqrt{g(x)} \end{cases}.
Dalam mengerjakan permasalahan pertidaksamaan bentuk akar (irasional) adalah :
  1. Mengkuadratkan masing-masing ruas.
  2. Di bawah tanda akar (syarat numerus) adalah  \geq .
  3. Himpunan penyelesaian merupakan irisan penyelesaian yang ada.