Persamaan dan Fungsi Kuadrat
2.1 Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat satu variabel adalah suatu persamaan yang pangkat tertingginya dua. Secara umum, bentuk persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0, a, b, c ∈ R.
Konstanta a, b, c pada persamaan ini disebut sebagai koefisien.
Beberapa contoh persamaan kuadrat yaitu: 3x2 – 7x + 5 = 0, x2 – x + 12 = 0, x2 – 9 = 0, 2x(x – 7) = 0 dan lainnya.
2.2 Grafik Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat merupakan fungsi yang berbentuk y = ax2 + bx + c, dengan a ≠ 0.
Grafik dari fungsi kuadrat menyerupai parabloa, sehingga dapat dikatakan juga sebagai fungsi parabola.
Nilai a pada fungsi y = ax2 + bx + c akan mempengaruhi bentuk grafiknya. Jika a positif maka grafiknya akan terbuka ke atas.
Sebaliknya jika a negatif maka grafiknya akan terbuka ke bawah. Jika nilai a semakin besar maka grafiknya menjadi lebih “kurus”.
2.3 Sumbu Simetri dan Nilai Optimum
Fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c mempunyai sumbu simetri
Dengan nilai optimumnya adalah
Langkah-langkah mensketsa grafik fungsi kuadrat:
Langkah 1. Menentukan bentuk parabola (terbuka ke atas atau ke bawah).
Langkah 2. Menentukan perpotongan grafik terhadap sumbu-x; yaitu, koordinat titik potongnya adalah (x1, 0) yang memenuhi persamaan f(x1) = 0
Langkah 3. Menentukan perpotongan grafik terhadap sumbu-y; yaitu, koordinat titik potongnya adalah (0, y1) dengan y1 didapatkan berdasarkan persamaan y1 = f(0)
Langkah 4. Menentukan sumbu simetri dan nilai optimum dari grafik fungsi.
Langkah 5. Mensketsa grafik fungsi kuadrat berdasarkan langkah (1), (2), (3), dan (4).
2.4 Menentukan Fungsi Kuadrat
Untuk menentukan fungsi kuadrat diperlukan beberapa informasi, di antaranya sebagai berikut.
1. Beberapa titik koordinat yang dilalui fungsi kuadrat tersebut.
2. Titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu-x.
3. Titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu-y.
4. Titik puncak dan sumbu simetri.
Langkah pertama untuk mendapatkannya adalah dengan memisalkan fungsi kuadrat tersebut dengan f(x) = ax2 + bx + c. Berikut ini adalah langkah selanjutnya berdasarkan informasi-informasi di atas.
1. Jika diketahui beberapa titik koordinat yang lain.
Jika fungsi kuadrat tersebut melalui koordinat (p, q), maka diperoleh f(p) = q.
2. Jika diketahui titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu-x.
Jika fungsi kuadrat memotong sumbu-x di (p, 0) dan (q, 0) maka fungsi kuadrat tersebut dapat dituliskan menjadi f(x) = a(x − p)(x − q).
3. Jika diketahui titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu-y.
Jika fungsi kuadrat memotong sumbu-x di (0, r) maka diperoleh f(0) = r
Dengan mensubstitusikan nilai 0 pada f(x) diperoleh f(0) = a(0)2 + b(0) + c = c.
Sehingga diperoleh c = r.
2.5 Aplikasi Fungsi Kuadrat
Langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah optimalisasi fungsi kuadrat.
Langkah 1. Tentukan variabel yang akan dioptimalisasi yaitu y dan variabel yang bebas yaitu x.
Langkah 2. Jika model y = ax2 + bx + c tidak diketahui maka bentuklah model y = ax2 + bx + c dari permasalahan.
Langkah 3. Tentukan nilai optimum dari model yang didapatkan pada Langkah 2.